MATH110 Equations différentielles linéaires du second ordre avec second membre

Il s'agit maintenant des équations  de la forme

ay'' + by' + cy = f(x)  

où a, b, c sont des réels (a non nul), et f(x) une fonction dérivable sur un intervalle I .

Ensemble des solutions :

Appelons équation homogène associée l'équation ay'' +  by' + cy = 0. Nous savons trouver les solutions de cette équation homogène (voir page précédente).

Supposons que nous connaissions une solution p(x) de l'équation (2). Alors, si u(x) est une solution quelconque de l'équation homogène, la fonction p(x) + u(x) est aussi une solution de l'équation (2). Ainsi, si l'on sait trouver une solution de (2), on peut en déduire une infinité d'autres. En fait, on obtient alors toutes les solutions de l'équation (2) :

La vérification est très simple : sachant que p et u sont solutions , on trouve :

a (p- u)"+b (p-u)'+c(p-u)=f(x)-f(x)=0

D'où le résultat.

Il résulte de cette proposition que, si on connait une solution p de l'équation différentielle (définie sur un intervalle J), n'importe quelle solution u de cette équation sera de la forme p+z où z est une solution de l'équation homogène associée.

Comme dans le das des équations linéaires du premeir ordre, on énonce ce principe en disant que

"la solution générale de l'équation avec second membre est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation sans second membre".

Tout le problème est donc de trouver une solution particulière de l'équation ay'' + by' + cy = f(x).

Dans la pratique, c'est la forme de la fonction f qui nous indiquera sous quelle forme chercher la solution particulière.

• Si f(x) est un polynôme de degré n :
  Chercher une solution qui soit un polynôme de degré n.

Exemple : Cherchons les solutions de l'équation y'' - y' - 2y = 2x².
L'équation r² - r - 2 admet les racines - 1 et 2. Les solutions de l'équation homogène associée sont donc A e^-x + B e^2x. Cherchons une solution sous la forme d'un polynome du .second degré y = a x² + bx + c.
On a y' = 2ax et y'' = 2a. En remplaçant dans l'équation, on trouve
             - 2 a x² + (- 2a - 2b) x + 2a - b - 2c = 2x²    d'où      a = - 1, b = 1, c = -3/2.
La solution générale de est donc u(x) = A e^-x + B e^2x - x² + x - 3/2.

• Si f(x) est de la forme K e^rx, avec ar² + br + c 0 , on cherche une solution de la forme d e^rx.

Exemple : Cherchons les solutions de l'équation y'' - y' - 2y = e^3x
Les solutions de l'équation homogène associée sont A e^-x + B e^2x.
Comme 3 n'est pas racine du polynome r² - r - 2, cherchons une solution sous la forme y = a e^3x.
On a alors y' = 3ae^3x et y'' = 9ae^3x. En remplaçant dans l'équation, on trouve
     (9a -3a - 2a ) e^3x = e^3x      d'où      a = 1/4.
La solution générale est donc u(x) = A e^-x + B e^2x + 1/4 e^3x.

• Si f(x) est de la forme K e^rx avec ar² + br + c = 0 on cherche une solution de la forme dx e^rx ou de la forme dx² e^rx si r est racine double.

Exemple : Cherchons les solutions de l'équation y'' - y' - 2y = e^2x.
Les solutions de l'équation homogène associée sont A e^-x + B e^2x.
Comme 2 est racine simple du polynome r² - r - 2, on cherche une solution sous la forme y = (ax + b) e^2x.
Puisque - b e^2x est solution de l'équation homogène, on peut même chercher la solution particulière sous la forme ax e^2x.
On a y' = (2ax + a)e^2x et y'' = (4ax + 4a)e^2x. Il vient a=1/3 et a solution générale est u(x) = A e^-x + (x/3 + B) e^2x.

• Si f(x) est de la forme p(x) e^rx, où p(x) est un polynôme de degré n :
  on cherche une solution de la forme q(x) e^rx, où q(x) est un polynôme de degré n si ar² + br + c  0 , et de degré n + 1 si ar² + br + c = 0 (ou même n + 2 si r est racine double).

Exemple : Cherchons les solutions de l'équation y'' - y' - 2y = xe^x.  
Les solutions de l'équation homogène associée sont A e^-x + B e^2x.
Comme 1 n'est pas racine du polynome r² - r - 2, on cherche une solution sous la forme y = (ax + b) e^x.
On a y' = (ax + a + b)e^x et y'' = (ax + 2a + b)e^x.
En remplaçant, on trouve (-2ax + a - 2b) e^x = x e^x, donc a = -1/2 et b = -1/4.
La solution générale est u(x) = A e^-x + B e^2x - (x/2 + 1/4) e^x.

• Si f(x) est de la forme d cos rx + e sin rx :
  on cherche une solution de la forme g cos rx + h sin rx (ou x(g cos rx + h sin rx) si cos rx est solution de l'équation homogène).

Exemple : Cherchons les solutions de l'équation y'' - y' - 2y = sin(2x).
Les solutions de l'équation homogène associée sont A e^-x + B e^2x.
On cherche une solution sous la forme y = a cos(2x) + b sin (2x)
On a y' = 2b cos(2x) - 2a sin (2x) = et y'' = - 4 a cos(2x) - 4b sin (2x).
En remplaçant dans (1), on trouve (- 6a - 2b) cos(2x) + (- 6b + 2a) sin(2x) = sin(2x),
donc 3a + b = 0 et (- 6b + 2a) = 1, soit a = 1/20 et b = -3/20
La solution générale est u(x) = A e^-x + B e^2x + 1/20 cos (2x) -3/20 sin (2x).

• Si f(x) est la somme de plusieurs fonctions f₁(x), . . . , f_p(x) qui sont chacune d'un des types ci-dessus :

  On cherche (pour i de 1 à p) une solution particulière s_i(x) de chacune des équations

  ay'' + by' + cy = f_i(x).

  La fonction s(x) = s₁(x) + . . . + s_p(x) sera solution de ay'' + by' + cy = f(x).