| Trigonométrie. Nbr.complexes Oscillation. Phase. Amplitude |
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A la fin du seizième siècle, l'astronome danois Tycho Brahe a enregistré pendant plus de 20 ans des mesures très précises de la position des planètes. Il espérait ainsi vérifier son propre modèle du système solaire, où le Soleil tournait autour de la Terre, et les autres planètes autour du Soleil.
A sa mort en 1601, son assistant Johanes Kepler hérita des données accumulées par Tycho Brahe.Pendant 20 ans il analysa ces données pour trouver des relations mathématiques qui permettent de les interpréter. Il a donné la synthèse de ses travaux sous la forme de trois lois appelées depuis "les lois de Képler" :
1. Les planètes décrivent autour du Soleil des orbites elliptiques dont le Soleil occupe l'un des foyers.
2. Le rayon qui relie le Soleil et la planète décrit des surfaces égales en des temps égaux.
3. Le carré de la période du mouvement est proportionnel au cube du demi-grand axe de l'orbite.
La simulation représente ces trois lois et permet de les explorer.
Le cercle rouge représente le Soleil, le point jaune une planète. La période du mouvement apparaît en haut à droite, les coordonnées de la planète défilent dans la fenêtre en haut à gauche sur l'animation. La vitesse initiale de la planète est représentée par la flèche bleue, elle est réglable et sa longueur est proportionnelle à la valeur de la vitesse. Un clic droit fige le mouvement, un deuxième clic le fait repartir.
- Les distances de la planète aux foyers apparaissent ainsi que leur somme. Calculer les paramètres de l'ellipse a, b, c, e en recherchant sur l'animation les données nécessaires.
- Sélectionner à "énergie cinétique fixée" et saisir le vecteur bleu pour modifier les conditions initiales : comment le mouvement est-il modifié lorsque la position initiale s'éloigne ou se rapproche de l'astre attracteur ? Même question à "moment cinétique" fixé. Commenter les observations.
- Sélectionner la "deuxième loi" : expliquer que lorsque la planète se rapproche du Soleil sa vitesse augmente (en appliquant la deuxième loi de Képler, puis l'équation de conservation du moment cinétique). Calculer la valeur du moment cinétique en fonction de la constante des aires C=dS/dt où dS représente la surface élémentaire décrite par le rayon vecteur pendant dt.
- Au fur et à mesure des manipulations, des points représentatifs alignés apparaissent sur le graphe (T^2 en fonction de a^3) : déterminer le coefficient directeur de la droite en fonction des grandeurs caractéristiques du problème, en déduire l'équation de la droite. Quelle variable est sous-entendue lorqu'on énonce la troisème loi de Képler sous la forme lapidaire " T^2/(a^3) = constante " ?